التباديل والتوافيق أسماء يعبر بها علماء الرياضيات عن مجموعات معينة من الأشياء أو الرموز. والتباديل ترتيبات منظمة لمجموعة من الأشياء، فمثلاً تعد (أ ب جـ) و(أ جـ ب) و(ب أ جـ)، ثلاثة تباديل لمجموعة الرموز أ، ب، جـ. أما التوافيق فهي تلك المجموعات التي تتضمن الأشياء نفسها بغض النظر عن الترتيب، فالمجموعات (أ ب جـ) و(أ جـ ب) و(ب أ جـ) كلها تمثل التوافيق نفسها، بينما تمثل المجموعات (أ ب جـ) و(أ ب د) و(أ جـ د)، توافيق مختلفة.

يطلق مسمى توافقيات على ذلك الفرع من الرياضيات الذي يتناول التباديل والتوافيق. وللتباديل استخدامات عديدة تشمل تحويل المكالمات الهاتفية عبر الأسلاك، وجدولة الإنتاج فى المصانع. ومع استخدام الحاسوب، غدت التباديل مجالاً خصبًا للأبحاث، وذلك لسرعة الحاسوب في القيام بالحسابات المتكررة.

أنظمـة الأعداد طرق للعد وتسمية الأعداد وتسمى أيضًا أنظمة الأرقام. ولأن الأعداد أفكار ذهنية، فإننا لانستطيع رؤيتها أو لمسها، لكن بإمكاننا استخدام رموز لتمثيلها. هذه الرموز نسميها أعدادًا. وتشمل الرموز التالية

 
  
 
ولنظامنا العددي عشرة أعداد أساسية فقط، تسمى أرقامًا هي: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. وباستخدام هذه الرموز يمكن كتابة أي عدد. ويسمى هذا النظام بالنظام العشري لأن أساسه العدد 10. وكلمة العشري مأخوذة من كلمة عشرة، وبالتالي تعد عشرة أساس أو مقياس النظام العشري.

الأُكْتِلْيون في المملكة المتحدة هو العدد واحد وإلى يمينه 48 صفرًا. في فرنسا والولايات المتحدة هو العدد واحد وإلى يمينه 27 صفرًا.

الأُسْطُوَانَةُ مجسم له قاعدتان متطابقتان في مستويين متوازيين، وكل قاعدة محاطة بحافة منحنية تعرف باسم الدليل أو الخط الدليلي . ويتكوّن السطح الجانبي للأسطوانة من خطوط متوازية تصل نقاط التقابل لكل من القاعدتين، وعندما يكون الخط الدليلي في شكل دائرة فإن الشكل يعرف بالشكل الأسطواني المستدير . أما الشكل الأسطواني القائم فهو شكل أسطواني سطحه الجانبي متعامدٌ على القاعدتين. أما الأسطوانات ذات السطح الجانبي غير المتعامد على القاعدتين فتسمى الأسطوانات المستديرة المائلة .

يُرمَز إلى ارتفاع الأسطوانه بـ (ر)، وهو المسافة العمودية بين مستوى القاعدتين. ويمكن إيجاد حجم الأسطوانة (ح) بضرب الارتفاع (ر) في مساحة إحدى القاعدتين (م): ح = م ر. وعندما تكون القاعدتان دائريَّتين فإن م =ط نق²؛ حيث إن (نق) تمثل نصف قطر أيّ من الدائرتين. وعليه يمكن كتابة معادلة الحجم كما يلي: ح = ط نق²ر. ط تساوي حوالي 3,1416.

تساوي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة محيط القاعدة مضروبًا في...

الأُسُّ في الحساب، ناتج عدد مضروب في نفسه عددًا محدَّدًا من المرَّات. على سبيل المثال 3 × 3 × 3 × 3 × 3 يسمى الأس الخامس للعدد 3 ويكتب ¹3. وفيما يتعلق بـ ¹3 يسمى العدد الأساس والعدد 5 الدليل الأسي. أما الأُسَّين الثاني والثالث لعدد ما فيسميان التربيع ؛ التكعيب . انظر: المربع ؛ المكعب. والأس الأول لعدد ما هو العدد ذاته، أما أس الصفر لعدد ما فهو واحد، بمعنى 3 ¥هو 3 و3¤ يكون 1. وينطبق مفهوم الأس أيضًا على الأعداد والكسور السالبة مثال ذلك:

الأرقام العربية تُعرف كذلك باسم الأرقام الهندو ـ عربية وهي أكثر الرموز الرقمية شيوعًا. ويمكن التعبير عن الأعداد باستعمال 10 رموز أساسية منفردة أو مجتمعة . تُسمى هذه الرموز أرقامًا، وهي كما يلي: 0 ، 1 ، 2 ، 3، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. وتؤثِّر خانة الرقم في الأعداد العربية على قيمتها. ومثال ذلك الأعداد العربية للعدد: ¸مئتان وسبعة وثلاثون· هو التسلسل الرقمي 237. فالرقم 2 في هذا العدد له قيمة مائتين، والرقم 3 له قيمة ثلاثين والرقم 7 له قيمة 7 فقط. والرقم العربي للعدد سبعة آلاف وثلاثة هو 7,003. فالقيمة العددية للرقم 7 هي سبعة آلاف، بينما قيمة الرقم 3 هي 3. ووظيفة الصفر (0) في هذا العدد هي ملء الخانات الفارغة؛ حتى تُعبِّر الأرقام عن القيمة الحقيقية للعدد. انظر: النظام العشري.

لا يعرف الباحثون الكيفية التي نشأ بها نظام الأعداد العربية، لكن المرجَّح أن تكون الرموز الرقمية من ابتداع الهنود ـ باستثناء الصفر ـ ثم طور العرب الصفر في فترة لاحقة أي في القرن السابع الميلادي. ومن المحتمل أن يكون مصدر الكلمة زيرو...

 
الأعداد الرومانية من 1 إلى مليون 
الأرقام الرومانية رموز تُعبِّر عن أرقام، وتُكتب كل الأعداد الرومانية باستخدام سبعة رموز أساسية، إما منفردة وإما مـركّبة. وتشمل هذه الرموز السبعة:

M ، (500) D ، (100) C ، (50) L ، (10) X ، (5) V ، (1) I (ألف).

وتُكتب الأعداد الرومانية من اليسار إلى اليمين، باستخدام مبدأ الإضافة في معظم الحالات، فتُكتب الآلاف أولا تليها المئات ثم العشرات وأخيراً الآحاد. ويكتب اليوم الوطني الماسي للمملكة العربية السعودية، (مرور 75 عامًا على تأسيسها) بالتقويم الميلادي، الذي يصادف سنة 2007، كالآتي: MMVII.

في نظام الأعداد الرومانية ، يكون وضع عدد أصغر قبل عدد أكبر، معناه أن الرقم الأصغر مطروح من الرقم الأكبر. ويُستخدم هذا المبدأ عموماً في الأربعات والتسعات. وعلى ذلك فإن رقم 4 يُكتب IV 1-5 ، كما يكتب رقم 9 بالشكل IX 1-10 وعادة ما ينطبق هذا المبدأ على أي رقم يبدأ...